Ejercicios y soluciones grupos de Lie

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Ejercicio 1. Partícula en una circunferencia.
Enunciado: Considera una partícula cuántica confinada a una circunferencia de radio fijo. Identifica el espacio de configuraciones clásico y construye el espacio de Hilbert de estados cuánticos. Define los kets de posición angular |φ⟩ y discute su interpretación física. Pistas: (i) El espacio de configuraciones es compacto. (ii) El producto interno debe conservar la probabilidad total. (iii) Trabaja con funciones periódicas de periodo 2π.

Respuesta

Aquí tienes la resolución detallada del Ejercicio 1, integrando los conceptos de variedades diferenciables, grupos de Lie y formalismo cuántico vistos en las lecciones anteriores y en las fuentes proporcionadas.

Solución: Partícula en una circunferencia

1. Identificación del Espacio de Configuraciones Clásico

En mecánica clásica, el estado de una partícula confinada a moverse en una circunferencia de radio fijo $R$ se describe mediante una sola coordenada: el ángulo.

Topología del Espacio: A diferencia de una partícula libre en una línea recta ($\mathbb{R}$), el espacio aquí es "compacto". Si la partícula se mueve un ángulo de $2\pi$, regresa al mismo punto físico.
Identificación Matemática: El espacio de configuraciones es topológicamente equivalente a la circunferencia unitaria, denotada como $S^1$,.
Relación con Grupos de Lie: Como vimos en las lecciones anteriores, la circunferencia $S^1$ es isomorfa al grupo de Lie $U(1)$ (números complejos de módulo 1) o al grupo de rotaciones planas $SO(2)$,,.
Coordenada: Utilizamos la variable angular $\phi \in \mathbb{R}$. Sin embargo, debido a la topología del espacio, identificamos $\phi$ con $\phi + 2\pi$. El espacio de configuración es el cociente $\mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}$.

Conclusión: El espacio de configuraciones clásico es la variedad diferenciable compacta $S^1$.

2. Construcción del Espacio de Hilbert ($\mathcal{H}$)

Para pasar a la mecánica cuántica, debemos construir el espacio de funciones de onda que describan el estado del sistema.

Definición: El espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ consiste en las funciones de valor complejo $\psi(\phi)$ definidas sobre la circunferencia. Formalmente, es el espacio de funciones de cuadrado integrable sobre el intervalo $[0, 2\pi]$, denotado como $L^2(S^1)$ o $L^2([0, 2\pi])$,.
Condición de Periodicidad: Dado que el punto físico en $\phi$ es idéntico al punto en $\phi + 2\pi$, la función de onda debe ser univaluada (debe tener un único valor en cada punto físico). Esto impone la condición de contorno periódica,: $$ \psi(\phi) = \psi(\phi + 2\pi) $$
Producto Interno: Para que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert, necesitamos un producto interno que nos permita calcular probabilidades,. Dados dos estados $|\psi\rangle$ y $|\chi\rangle$ representados por las funciones $\psi(\phi)$ y $\chi(\phi)$, el producto interno se define como la integral sobre el espacio de configuración: $$ \langle \chi | \psi \rangle = \int_{0}^{2\pi} \chi^*(\phi) \psi(\phi) , d\phi $$
Norma y Probabilidad: La norma al cuadrado representa la probabilidad total de encontrar a la partícula en algún lugar del círculo. Esta probabilidad debe ser 1 (conservación de la probabilidad total): $$ \langle \psi | \psi \rangle = \int_{0}^{2\pi} |\psi(\phi)|^2 , d\phi = 1 $$

3. Definición de los Kets de Posición Angular $|\phi\rangle$

Siguiendo la notación de Dirac introducida en las fuentes,, definimos los kets de posición para este espacio continuo.

Definición: El ket $|\phi_0\rangle$ representa un estado en el que la partícula está perfectamente localizada en el ángulo $\phi_0$.
Ecuación de Autovalores: Si definimos el operador posición angular $\hat{\Phi}$, entonces: $$ \hat{\Phi} |\phi_0\rangle = \phi_0 |\phi_0\rangle $$
Periodicidad de los Kets: Debido a la topología de $S^1$, los kets deben respetar la identificación geométrica: $$ |\phi\rangle = |\phi + 2\pi\rangle $$
Ortogonalidad: Al ser una base continua, la condición de ortogonalidad no usa la delta de Kronecker ($\delta_{nm}$), sino la delta de Dirac ($\delta(x)$). Para puntos en el círculo: $$ \langle \phi | \phi' \rangle = \delta(\phi - \phi') $$ (Nota: Formalmente es una delta periódica o "peine de Dirac" para respetar la topología del círculo).
Relación de Completitud (Cierre): La suma de los proyectores sobre todos los posibles ángulos debe dar la identidad, permitiéndonos expandir cualquier estado en esta base: $$ \int_{0}^{2\pi} |\phi\rangle \langle \phi | , d\phi = \mathbb{I} $$

4. Discusión e Interpretación Física

Función de Onda: Cualquier estado abstracto $|\psi\rangle$ se puede proyectar sobre la base de posiciones para obtener la función de onda usual,: $$ \psi(\phi) = \langle \phi | \psi \rangle $$ Esto se interpreta como la "amplitud de probabilidad" de encontrar la partícula en el ángulo $\phi$.
Consecuencia de la Compacidad (Cuantización): Al ser el espacio de configuraciones compacto ($S^1$) y exigir que la función de onda sea periódica ($\psi(\phi) = \psi(\phi+2\pi)$), se restringen los posibles valores del momento conjugado. Como vimos en las lecciones sobre grupos de Lie, el generador de las rotaciones (grupo $U(1)$ o $SO(2)$) es el Momento Angular ($\hat{L}_z = -i\hbar \frac{d}{d\phi}$). Las funciones propias de este operador son exponenciales complejas $e^{im\phi}$. Para que estas sean periódicas en $2\pi$, $m$ debe ser un número entero,.

Conclusión Física: El confinamiento espacial en una geometría compacta (el círculo) provoca automáticamente la cuantización del momento angular ($L_z = m\hbar, \ m \in \mathbb{Z}$), un resultado que no aparece naturalmente en el movimiento en una línea recta infinita $\mathbb{R}$.

Recuérdame qué es la delta de Dirac

Aquí tienes un recordatorio sobre la delta de Dirac, conectando los conceptos matemáticos con su utilidad física, tal como se presentan en las fuentes.

¿Qué es la Delta de Dirac?

Aunque la llamamos "función", la delta de Dirac ($\delta(x)$) no es una función en el sentido tradicional del cálculo (como $x^2$ o $\sin x$). Es una distribución o función generalizada,.

Fue introducida por Paul Dirac como una herramienta para manejar bases continuas en mecánica cuántica, extendiendo el concepto discreto de la delta de Kronecker ($\delta_{ij}$) al caso continuo,.

1. Definición Intuitiva y Operativa

Visualmente, puedes imaginarla como el límite de una función (por ejemplo, un rectángulo o una campana de Gauss) que se hace infinitamente estrecha e infinitamente alta, de tal manera que el área total bajo la curva se mantiene siempre igual a 1,.

Sus dos propiedades definitorias son:

Es cero en todas partes, excepto en $x=0$, donde es "infinita": $$ \delta(x) = 0 \quad \text{si } x \neq 0 $$,.
Su integral sobre todo el espacio es la unidad: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) , dx = 1 $$.

2. La Propiedad Fundamental (El "Muestreo")

La utilidad principal de la delta es que sirve para "filtrar" o seleccionar el valor de una función en un punto específico. Si integras el producto de una función suave $f(x)$ por una delta centrada en $a$, el resultado es simplemente el valor de la función en ese punto,: $$ \int f(x)\delta(x - a) , dx = f(a) $$ En el lenguaje riguroso de la teoría de distribuciones (desarrollada por Laurent Schwartz para justificar las matemáticas de Dirac), se define la delta no por su valor en un punto, sino por cómo actúa como un funcional lineal sobre funciones de prueba $\phi$: $\langle \delta, \phi \rangle = \phi(0)$,,.

3. Relación con la Mecánica Cuántica

En tu curso, la delta es crucial para normalizar estados en el espectro continuo:

Bases Discretas: Usamos la Delta de Kronecker. $\langle n | m \rangle = \delta_{nm}$ (es 1 si son iguales, 0 si no).
Bases Continuas: Para estados de posición $|x\rangle$ o momento $|p\rangle$, usamos la Delta de Dirac. La condición de ortonormalidad es: $$ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x') $$,. Esto significa que la "probabilidad" de encontrar una partícula exactamente en $x'$ si está en el estado $x$ es cero a menos que $x=x'$, en cuyo caso es una densidad de probabilidad infinita concentrada en un punto.

4. Propiedades Matemáticas Útiles

Las fuentes destacan varias identidades que suelen aparecer en ejercicios:

Escalado: Si el argumento está multiplicado por una constante $a$, la delta se escala por el inverso del módulo de $a$: $$ \delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x) $$.
Raíces de funciones: Si el argumento es una función $f(x)$, la delta se "enciende" en las raíces $x_i$ de esa función (donde $f(x_i)=0$): $$ \delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|} $$,.
Relación con el escalón: La delta es la derivada de la función escalón de Heaviside $\Theta(x)$ (que vale 0 para $x<0$ y 1 para $x>0$): $$ \frac{d}{dx}\Theta(x) = \delta(x) $$,.
Representación de Fourier: Se puede escribir como una integral de ondas planas (muy útil para pasar de espacio de posiciones a momentos): $$ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx} , dk $$,.

En resumen, la delta de Dirac es el "elemento neutro" de la integración (análogo al 1 en la multiplicación) y representa la idealización de una masa, carga o probabilidad concentrada en un solo punto geométrico.

En relación al Ejercicio 1. Partícula en una circunferencia, que acabas de resolver, explícame con más detalle esta parte: Al ser el espacio de configuraciones compacto (S1) y exigir que la función de onda sea periódica (ψ(ϕ)=ψ(ϕ+2π)), se restringen los posibles valores del momento conjugado. Como vimos en las lecciones sobre grupos de Lie, el generador de las rotaciones (grupo U(1) o SO(2)) es el Momento Angular (L^z=−iℏddϕ). Las funciones propias de este operador son exponenciales complejas eimϕ. Para que estas sean periódicas en 2π, m debe ser un número entero,.

Aquí tienes una explicación detallada paso a paso sobre cómo la geometría circular impone la cuantización del momento angular, utilizando los conceptos de Grupos de Lie y mecánica cuántica desarrollados en las fuentes.

1. El Problema Topológico: $\mathbb{R}$ vs $S^1$

Para una partícula libre en una línea recta ($\mathbb{R}$), la posición $x$ va de $-\infty$ a $+\infty$. No hay restricciones geométricas; la partícula puede ir tan lejos como quiera. Sin embargo, en una circunferencia ($S^1$), el espacio es compacto. Como se menciona en las fuentes, el grupo de rotaciones en el plano $SO(2)$ (isomorfo al círculo unitario $U(1)$) tiene la topología de una circunferencia,.

Esto introduce una identificación fundamental: el punto descrito por el ángulo $\phi$ es físicamente idéntico al punto $\phi + 2\pi$. Matemáticamente, estamos trabajando en el espacio cociente $\mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}$,.

2. La Condición de Univaluación (Función de Onda)

En mecánica cuántica, la función de onda $\psi(\phi)$ contiene toda la información física del sistema. Para que esta información sea consistente, la función debe tener un único valor en cada punto físico del espacio. Dado que $\phi$ y $\phi + 2\pi$ son el mismo punto geométrico, la función debe satisfacer la condición de periodicidad: $$ \psi(\phi) = \psi(\phi + 2\pi) $$ Si esto no se cumpliera, la probabilidad de encontrar la partícula en un punto ($|\psi|^2$) tendría dos valores distintos simultáneamente, lo cual es físicamente imposible. Esta restricción es la clave de todo el proceso.

3. El Generador de las Rotaciones: El Momento Angular

Como vimos en la teoría de Grupos de Lie, las rotaciones son generadas por un operador infinitesimal.

En el caso de traslaciones lineales (Grupo $\mathbb{R}$), el generador es el operador momento lineal $\hat{P} = -i\hbar \frac{d}{dx}$,.
En el caso de rotaciones en el plano (Grupo $SO(2)$ o $U(1)$), el generador es la derivada respecto al ángulo. El álgebra de Lie de $S^1$ está engendrada por el campo vectorial $\frac{\partial}{\partial \theta}$ (o $\frac{\partial}{\partial \phi}$),.

Físicamente, para obtener un observable hermítico (real), multiplicamos por $-i\hbar$. Así, el operador Momento Angular en el eje $z$ es: $$ \hat{L}_z = -i\hbar \frac{d}{d\phi} $$ Este operador es el generador infinitesimal de las rotaciones en esta representación.

4. Resolviendo la Ecuación de Autovalores

Queremos encontrar los estados que tienen un momento angular bien definido. Esto significa resolver la ecuación de autovalores para el operador $\hat{L}_z$. Buscamos funciones $\psi(\phi)$ y números $l_z$ tales que: $$ \hat{L}_z \psi(\phi) = l_z \psi(\phi) $$

Sustituyendo la forma del operador: $$ -i\hbar \frac{d\psi}{d\phi} = l_z \psi $$

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden simple (nivel primer semestre). Podemos reordenarla como: $$ \frac{d\psi}{\psi} = i \frac{l_z}{\hbar} d\phi $$

Integrando ambos lados, obtenemos la solución general, que es una exponencial compleja: $$ \psi(\phi) = A e^{i \frac{l_z}{\hbar} \phi} $$ Donde $A$ es una constante de normalización. Observa que esta forma exponencial es típica de las representaciones irreducibles del grupo $U(1)$ o $SO(2)$,.

5. La Cuantización: Aplicando la Condición de Borde

Hasta aquí, $l_z$ podría ser cualquier número real (como ocurre con el momento lineal en una recta infinita). Pero ahora debemos imponer la condición del paso 2: la periodicidad.

$$ \psi(\phi) = \psi(\phi + 2\pi) $$

Sustituyendo nuestra solución: $$ A e^{i \frac{l_z}{\hbar} \phi} = A e^{i \frac{l_z}{\hbar} (\phi + 2\pi)} $$

Dividiendo ambos lados por $A e^{i \frac{l_z}{\hbar} \phi}$ (que nunca es cero), obtenemos la restricción sobre la fase: $$ 1 = e^{i \frac{l_z}{\hbar} 2\pi} $$

Recordando la fórmula de Euler ($e^{ix} = \cos x + i \sin x$), la exponencial compleja es igual a 1 solo si el exponente es un múltiplo entero de $2\pi i$. Es decir, el argumento debe ser $2\pi m i$, donde $m$ es un entero ($m \in \mathbb{Z}$).

Por lo tanto, exigimos que: $$ \frac{l_z}{\hbar} 2\pi = 2\pi m $$

Simplificando, llegamos al resultado de cuantización: $$ l_z = m\hbar, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots $$

Resumen

La geometría del círculo ($S^1$) es cerrada (compacta).
Esto obliga a que las funciones de onda sean periódicas (univaluadas).
Las funciones propias del generador de rotaciones ($L_z$) son exponenciales $e^{ik\phi}$.
Para que una exponencial "encaje" perfectamente en un círculo al dar una vuelta completa, su frecuencia debe ser un número entero.
En consecuencia, los valores medibles del momento angular ($l_z$) no pueden ser continuos; deben dar saltos discretos de $\hbar$.

Ejercicio 2. Simetrías y representación de U(1).
Enunciado: Identifica la simetría física fundamental de una partícula en un anillo sin potencial externo. Construye el operador unitario que implementa rotaciones y demuestra que define una representación unitaria del grupo U(1). Pistas: (i) Una rotación actúa como ψ(φ) → ψ(φ − θ). (ii) Comprueba la ley de grupo. (iii) Verifica la unitariedad usando el producto interno

Aquí tienes la resolución detallada del Ejercicio 2. He desglosado cada paso asumiendo tus conocimientos actuales (álgebra lineal básica, cálculo de una variable) e introduciendo los conceptos nuevos con suavidad, basándome en las fuentes.

Solución Detallada: Simetrías y Representación de U(1)

1. Identificación de la Simetría Física Fundamental

Análisis Físico: Imagina el anillo (o circunferencia) donde está la partícula. El enunciado dice que "no hay potencial externo". Esto significa que el entorno de la partícula es perfectamente homogéneo; no hay "arriba", "abajo", "izquierda" o "derecha" que se distingan físicamente. Si giras el anillo, la física del problema no cambia.

Concepto de Simetría: En matemáticas y física, una simetría es una transformación que deja invariante el sistema. En este caso, si rotamos el sistema un ángulo cualquiera $\theta$, las leyes que gobiernan la partícula siguen siendo las mismas.

El Grupo de Simetría: La operación de "rotar en un plano" forma un grupo.

Si rotas un ángulo $\theta_1$ y luego $\theta_2$, el resultado es una rotación de $\theta_1 + \theta_2$ (Cierre).
Existe una rotación de 0 grados que no hace nada (Identidad).
Para cada rotación $\theta$, existe la rotación contraria $-\theta$ que devuelve el sistema al inicio (Inverso).

Este grupo de rotaciones en el plano se llama $SO(2)$ (Grupo Especial Ortogonal de dimensión 2). Sin embargo, como vimos en las fuentes, este grupo es isomorfo (tiene la misma estructura) al grupo $U(1)$, que es el grupo de números complejos de módulo 1 ($e^{i\theta}$),.

Respuesta: La simetría física fundamental es la Invariancia Rotacional. El grupo asociado es el grupo de rotaciones planas, que identificaremos con $U(1)$.

2. Construcción del Operador Unitario de Rotación

En mecánica cuántica, a cada transformación de simetría (como rotar) le corresponde un operador que actúa sobre la función de onda (el estado $\psi(\phi)$).

Definición del Operador $\hat{R}(\theta)$: Siguiendo la pista (i) del enunciado, definimos el operador rotación de ángulo $\theta$, denotado como $\hat{R}(\theta)$, mediante su acción sobre una función de onda cualquiera $\psi(\phi)$:

$$ \hat{R}(\theta) \psi(\phi) = \psi(\phi - \theta) $$

Explicación para tu nivel: ¿Por qué $\phi - \theta$? Esto se llama "transformación activa". Imagina la función de onda como una montaña dibujada sobre el anillo. Si rotamos la montaña hacia la derecha (sentido positivo) un ángulo $\theta$, el pico que estaba en la posición $0$ ahora estará en la posición $\theta$. Matemáticamente, para que la "nueva" función tenga el pico en $\theta$, su argumento debe ser cero cuando $\phi = \theta$. Esto se logra si el argumento es $(\phi - \theta)$.

3. Demostración de que define una Representación de $U(1)$

Para que estos operadores $\hat{R}(\theta)$ formen una representación del grupo, deben comportarse igual que los elementos del grupo abstracto. Debemos comprobar dos cosas: la "Ley de Grupo" y la "Unitariedad".

A. Comprobación de la Ley de Grupo (Pista ii)

El grupo $U(1)$ (o las rotaciones) cumple que rotar $\theta_1$ y luego $\theta_2$ es igual a rotar $(\theta_1 + \theta_2)$. Debemos ver si nuestros operadores cumplen: $$ \hat{R}(\theta_1) \hat{R}(\theta_2) = \hat{R}(\theta_1 + \theta_2) $$

Paso a paso:

Aplicamos primero el operador $\hat{R}(\theta_2)$ sobre una función $\psi(\phi)$. Llamemos al resultado $g(\phi)$: $$ g(\phi) = \hat{R}(\theta_2) \psi(\phi) = \psi(\phi - \theta_2) $$
Ahora aplicamos $\hat{R}(\theta_1)$ sobre el resultado $g(\phi)$. Cuidado aquí: el operador le dice a la función "toma tu variable y réstale el ángulo". $$ \hat{R}(\theta_1) g(\phi) = g(\phi - \theta_1) $$
Sustituimos la definición de $g$. Donde antes había un argumento, ahora ponemos $(\phi - \theta_1)$: $$ g(\phi - \theta_1) = \psi( (\phi - \theta_1) - \theta_2 ) $$
Agrupamos los términos: $$ \psi( \phi - (\theta_1 + \theta_2) ) $$
Observamos que esto es exactamente la definición de rotar un ángulo total de $\theta_1 + \theta_2$: $$ \psi( \phi - (\theta_1 + \theta_2) ) = \hat{R}(\theta_1 + \theta_2) \psi(\phi) $$

Conclusión: Se cumple la ley de composición del grupo. $\hat{R}(\theta_1)\hat{R}(\theta_2) = \hat{R}(\theta_1+\theta_2)$.

B. Verificación de la Unitariedad (Pista iii)

Un operador es Unitario si preserva el producto interno (y por tanto, las probabilidades),,. El producto interno en este espacio (visto en el Ejercicio 1) es: $$ \langle \psi | \chi \rangle = \int_{0}^{2\pi} \psi^*(\phi) \chi(\phi) , d\phi $$

Queremos demostrar que el producto interno no cambia tras aplicar la rotación: $$ \langle \hat{R}(\theta)\psi | \hat{R}(\theta)\chi \rangle = \langle \psi | \chi \rangle $$

Cálculo paso a paso:

Escribimos el producto interno de las funciones rotadas: $$ \langle \hat{R}\psi | \hat{R}\chi \rangle = \int_{0}^{2\pi} [\psi(\phi - \theta)]^* \chi(\phi - \theta) , d\phi $$
Hacemos un cambio de variable en la integral (cálculo de primer semestre).
- Sea $\alpha = \phi - \theta$.
- Entonces $d\alpha = d\phi$.
- Los límites de integración cambian:
  - Si $\phi = 0 \rightarrow \alpha = -\theta$.
  - Si $\phi = 2\pi \rightarrow \alpha = 2\pi - \theta$.
Reescribimos la integral: $$ \int_{-\theta}^{2\pi - \theta} \psi^*(\alpha) \chi(\alpha) , d\alpha $$
Propiedad clave de las funciones periódicas: Como estamos en un círculo, las funciones $\psi$ y $\chi$ son periódicas con periodo $2\pi$. En una integral de una función periódica sobre un periodo completo, da igual dónde empecemos a integrar, el área total es la misma (imagina deslizar el área bajo la curva; lo que sale por un lado entra por el otro). $$ \int_{-\theta}^{2\pi - \theta} (...) , d\alpha = \int_{0}^{2\pi} (...) , d\alpha $$
Recuperamos la integral original: $$ \int_{0}^{2\pi} \psi^*(\alpha) \chi(\alpha) , d\alpha = \langle \psi | \chi \rangle $$

Conclusión: El operador $\hat{R}(\theta)$ conserva el producto interno, por lo tanto, es un Operador Unitario.

Resumen Final para el Estudiante

Hemos demostrado que:

La simetría es la rotación en el círculo.
Podemos asociar a cada ángulo $\theta$ un operador lineal $\hat{R}(\theta)$.
Estos operadores respetan la suma de ángulos (estructura de grupo).
Estos operadores no cambian la probabilidad total (son unitarios).

Por lo tanto, el conjunto de operadores ${\hat{R}(\theta)}$ forma una Representación Unitaria del grupo $U(1)$ en el espacio de Hilbert de la partícula,.

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