Primos e irreducibles

 asistido por IA

Basado en las fuentes proporcionadas, a continuación distingo los conceptos de números primos e irreducibles y analizo los ejemplos solicitados en los anillos de la forma $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.

Diferencia entre Elemento Irreducible y Elemento Primo

En la teoría de anillos (específicamente en dominios de integridad), ambos conceptos intentan capturar la noción de un número que no puede descomponerse en factores más simples, pero lo hacen desde perspectivas distintas:

1. Elemento Irreducible: Un elemento no nulo y no unidad $\alpha$ es irreducible si su factorización es trivial. Es decir, si $\alpha = \beta\gamma$, entonces $\beta$ es una unidad o $\gamma$ es una unidad,,.
   • Intuitivamente: Es un "átomo" que no puede romperse en piezas más pequeñas (que no sean unidades).
2. Elemento Primo: Un elemento no nulo y no unidad $\pi$ es primo si cumple la propiedad fundamental de la divisibilidad: si $\pi$ divide a un producto $ab$, entonces $\pi$ divide a $a$ o $\pi$ divide a $b$,,.
   • Intuitivamente: Es un elemento que, si es un "ladrillo" de un producto, debe ser un "ladrillo" de alguno de los factores.

La relación clave:

• En cualquier dominio de integridad, todo elemento primo es irreducible,,.
• Sin embargo, no todo elemento irreducible es necesariamente primo. La equivalencia (Irreducible $\iff$ Primo) solo se garantiza en los Dominios de Factorización Única (DFU),,.

Análisis de los Ejemplos Solicitados

La distinción se vuelve crítica en anillos que no son DFU, donde la factorización en irreducibles existe pero no es única. Utilizando la función norma $N(a+b\sqrt{d}) = |a^2 - db^2|$,,, podemos determinar las unidades (elementos de norma 1) y analizar la irreducibilidad.

1. Anillos que NO son de Factorización Única (Irreducible $\neq$ Primo)

En estos anillos, encontraremos elementos que son irreducibles (no se pueden factorizar más) pero que no son primos (dividen a un producto sin dividir a los factores).

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$:

  • Este es el ejemplo clásico de un anillo que no es un DFU,,.
  • Consideremos la factorización de 6: $$6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$
  • Se puede demostrar mediante normas que $2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$ y $1-\sqrt{-5}$ son todos irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$,,. Por ejemplo, $N(2)=4$; si $2=\alpha\beta$, $N(\alpha)N(\beta)=4$. No existen elementos de norma 2 en este anillo ($a^2+5b^2=2$ no tiene solución entera), por lo que 2 no puede descomponerse en no-unidades,.
  • Sin embargo, 2 no es primo: 2 divide al producto $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 6$, pero 2 no divide a $(1+\sqrt{-5})$ ni a $(1-\sqrt{-5})$,,.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$:

  • Este anillo no es un DFU,.
  • Consideremos el número 4: $$4 = 2 \cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$$
  • El número 2 es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ porque $N(2)=4$ y no existen elementos de norma 2 ($a^2+3b^2=2$ no tiene solución entera).
  • Sin embargo, 2 no es primo: divide al producto $(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})=4$, pero no divide a los factores individualmente en este anillo.
  • Nota: El anillo de enteros del cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ es $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ (enteros de Eisenstein), que sí es un DFU. Pero el subanillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ no lo es,.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$:

  • Para $n \ge 3$ libre de cuadrados (como -7), el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ no es un DFU; en estos anillos, el número 2 es irreducible pero no primo.
  • Similar al caso de -3, el anillo de enteros completo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ incluye elementos con denominadores (mitades) y sí es un dominio euclídeo (y por tanto DFU), pero el conjunto estricto $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ carece de factorización única.

2. Anillos que SON de Factorización Única (Irreducible $=$ Primo)

En estos dominios, al ser DFU (muchos de ellos por ser Dominios Euclídeos), todo elemento irreducible es automáticamente primo,.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:

  • Este anillo es un Dominio Euclídeo con la norma usual $N(a+b\sqrt{-2}) = a^2+2b^2$,,.
  • Al ser euclídeo, es un Dominio de Ideales Principales (DIP) y, por tanto, un DFU,.
  • Aquí, cualquier irreducible (como $\sqrt{-2}$) es primo.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$:

  • El cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ tiene como anillo de enteros a $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ (dado que $3 \not\equiv 1 \pmod 4$).
  • Este anillo es un Dominio Euclídeo y, por tanto, un DFU,.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$:

  • El cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ tiene como anillo de enteros a $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ (dado que $7 \not\equiv 1 \pmod 4$).
  • Este anillo aparece listado como un Dominio Euclídeo,.
  • En consecuencia, es un DFU y no existe distinción entre primos e irreducibles.

Resumen de Ejemplos

Anillo	¿Es DFU?	Relación Primo vs. Irreducible	Ejemplo Clave
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$	No,	Irreducible $\not\implies$ Primo	$2$ es irreducible, no primo.
$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$	No	Irreducible $\not\implies$ Primo	$2$ es irreducible, no primo.
$\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$	No*	Irreducible $\not\implies$ Primo	(Similar a $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, falta cerradura integral).
$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$	Sí	Irreducible $\iff$ Primo	Euclídeo,.
$\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$	Sí	Irreducible $\iff$ Primo	Euclídeo.
$\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$	Sí	Irreducible $\iff$ Primo	Euclídeo.

** Nota:** Para $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$, el anillo completo de enteros del cuerpo es $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}]$, el cual sí es DFU,. Sin embargo, el subanillo estricto $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ no tiene factorización única (se comporta como el caso -3).

El anillo de enteros $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ Este anillo se define como el conjunto $\{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$. En este dominio, se define una función norma $N: \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \to \mathbb{Z}$ dada por $N(a + b\sqrt{2}) = |a^2 - 2b^2|$. Esta norma es multiplicativa, lo que significa que para cualesquiera $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, se cumple que $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.

Una propiedad fundamental de los enteros algebraicos en este anillo es que un elemento $u$ es una unidad (tiene inverso multiplicativo) si y solo si su norma es 1, es decir, $N(u) = 1$.

Relación entre Irreducibles y Primos La deducción se simplifica considerablemente al determinar el tipo de dominio que es $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Se sabe que este anillo es un dominio euclídeo con respecto al valor absoluto de la norma. La importancia de esto radica en la siguiente cadena de implicaciones lógicas demostradas en la teoría de anillos:

1. Todo dominio euclídeo es un dominio de ideales principales (DIP),.
2. Todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única (DFU),.

En un dominio de factorización única (y por tanto en un DIP), se cumple la siguiente equivalencia fundamental: un elemento es irreducible si y solo si es primo,. Por lo tanto, en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, deducir cuáles son los irreducibles equivale automáticamente a deducir cuáles son los primos.

Deducción de los elementos Irreducibles (y Primos) Para encontrar los elementos irreducibles, analizamos la factorización de los números primos racionales $p \in \mathbb{Z}$ dentro del anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ utilizando la norma.

Caso 1: El primo racional 2 Observamos que en$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ se cumple la igualdad $2 = (\sqrt{2})^2$. La norma de $\sqrt{2}$ es $N(\sqrt{2}) = |0^2 - 2(1)^2| = 2$. Dado que la norma es un número primo racional, el elemento $\sqrt{2}$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Por lo tanto, $\sqrt{2}$ es un elemento primo.

Caso 2: Primos racionales que se mantienen primos (inertes) Si $p$ es un número primo racional tal que la ecuación $x^2 - 2y^2 = \pm p$ no tiene solución en enteros, entonces no existen elementos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ con norma $p$. Como $N(p) = p^2$ , cualquier factorización no trivial de $p$ en este anillo implicaría factores con norma $p$. Al no existir tales elementos, $p$ debe ser irreducible (y por tanto primo) en $ \mathbb{Z}[\sqrt{2}] $ Esto ocurre cuando el símbolo de Legendre $(\frac{2}{p}) = -1$, lo cual sucede si$ $p \equiv 3 \pmod 8$ o $ p \equiv 5 \pmod 8 $

Caso 3: Primos racionales que se factorizan (se escinden) Si $p$ es un número primo racional tal que la ecuación $x^2 - 2y^2 = \pm p$ tiene solución, entonces existen elementos $\pi = x + y\sqrt{2}$ tales que $N(\pi) = p$Como su norma es un primo racional, $\pi$ es irreducible. En este caso, $p$ no es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ porque se factoriza como $ p = \pi \bar{\pi} $ (salvo unidades). Esto ocurre cuando $ (\frac{2}{p}) = 1 $ es decir, si $ p \equiv 1 \pmod 8$ o $ p \equiv 7 \pmod 8 $

Conclusión Los elementos primos e irreducibles en $ \mathbb{Z}[\sqrt{2}] $ son, salvo multiplicación por unidades:

1. El elemento $ \sqrt{2}.$
2. Los números primos racionales positivos $p$ tales que $p \equiv 3 \pmod 8$ o $p \equiv 5 \pmod 8$.
3. Los elementos $\pi = x + y\sqrt{2} $ tales que $|x^2 - 2y^2| = p$ donde $p$ es un primo racional con $p \equiv 1 \pmod 8$ o $p \equiv 7 \pmod 8$.

 No vale así para que salga en mi blog bien  $p \equiv 1 \pmod 8$ o $p \equiv 7 \pmod 8$.