Álgebra Geométrica, continuación

 Asistido por IA

 

Seguimos con problemas de geometría analítica 

He sacado este problema de un libro de geometría analítica tradicional y quiero ver cómo se resuelve mediante el álgebra geométrica:

Halla las ecuaciones de la recta que pasa por (1, -1, 3) y es perpendicular al plano 2x+5y + z -1=0.

Determina las coordenadas del punto de corte de la recta que has hallado con el plano dado 

 Este es un problema clásico que permite lucir la elegancia del Álgebra Geométrica (AG). A diferencia de la geometría analítica tradicional, que a menudo requiere manipular componentes individuales ($x, y, z$) y resolver sistemas de ecuaciones, el AG trata los puntos, las líneas y los planos como objetos completos.

Aquí tienes la resolución paso a paso utilizando los conceptos de los módulos anteriores.

Paso 1: Definición de los Objetos en el Álgebra

En el Álgebra Geométrica, distinguimos entre vectores (direcciones puras) y puntos (localizaciones fijas, definidas como $\text{Origen} + \text{vector}$).

1. El Punto $P$: El punto dado es $P = (1, -1, 3)$. En nuestra álgebra: $$P = \mathcal{O} + 1e_1 - 1e_2 + 3e_3$$ Donde $\mathcal{O}$ es el origen.

2. El Plano $\Pi$: La ecuación dada es $2x + 5y + z - 1 = 0$. En el contexto del álgebra (específicamente en el modelo proyectivo o coordenadas homogéneas), los coeficientes de la ecuación cartesiana de un plano definen directamente su vector normal o su forma Dual ($\Pi^*$),.

  • El vector normal (dirección perpendicular) es: $\mathbf{n} = 2e_1 + 5e_2 + 1e_3$.
  • La representación dual del plano que contiene toda la información (incluida la distancia al origen) es: $\Pi^* = [2, 5, 1, -1]$.

Paso 2: Hallar las Ecuaciones de la Recta

La condición geométrica es que la recta debe ser perpendicular al plano. Esto significa que el vector director de la recta ($\mathbf{v}$) debe ser paralelo al vector normal del plano ($\mathbf{n}$).

  • Vector director: $\mathbf{v} = \mathbf{n} = 2e_1 + 5e_2 + 1e_3$.

La Ecuación en Álgebra Geométrica: En GA, una línea $L$ se define como el producto exterior de un punto y un vector de dirección,: $$ L = P \wedge \mathbf{v} $$ $$ L = (\mathcal{O} + e_1 - e_2 + 3e_3) \wedge (2e_1 + 5e_2 + e_3) $$

Si expandimos esto (distribuyendo el producto cuña), obtendríamos el bivector que representa la línea en el espacio. Esta es la "ecuación" estructural de la recta.

Traducción a Ecuaciones Paramétricas (lo que pide el libro): Dado que la línea es el lugar geométrico de los puntos $X$ tales que $X = P + t\mathbf{v}$, podemos escribir directamente: $$ (x, y, z) = (1, -1, 3) + t(2, 5, 1) $$ O desglosado: $$ \begin{cases} x = 1 + 2t \ y = -1 + 5t \ z = 3 + t \end{cases} $$

Paso 3: Intersección de la Recta y el Plano

Aquí es donde el Álgebra Geométrica brilla. En lugar de sustituir las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano (método tradicional), utilizamos el Producto Regresivo ($\vee$), que es la operación algebraica para encontrar intersecciones,.

La intersección de la línea $L$ y el plano $\Pi$ es: $$ P_{int} = L \vee \Pi $$

Para calcular esto numéricamente de forma sencilla, usamos la fórmula de expansión que vimos en la conversación anterior para la intersección de una línea definida por dos puntos ($A, B$) y un plano con dual $\Pi^*$: $$ P_{int} = (A \cdot \Pi^*)B - (B \cdot \Pi^*)A $$

Para usar esta fórmula, necesitamos definir dos puntos en nuestra recta $L$.

  1. Punto A: Ya lo tenemos, es $P = (1, -1, 3)$.
  2. Punto B: Creemos un segundo punto arbitrario sumando el vector director a $P$: $Q = P + \mathbf{v} = (1+2, -1+5, 3+1) = (3, 4, 4)$.

Ahora evaluamos la posición de estos puntos respecto al plano. La expresión $(A \cdot \Pi^*)$ es simplemente evaluar las coordenadas del punto en la ecuación del plano ($2x+5y+z-1$):

Evaluación para $P(1, -1, 3)$: $$ \delta_P = 2(1) + 5(-1) + 1(3) - 1 = 2 - 5 + 3 - 1 = -1 $$

Evaluación para $Q(3, 4, 4)$: $$ \delta_Q = 2(3) + 5(4) + 1(4) - 1 = 6 + 20 + 4 - 1 = 29 $$

Aplicando la fórmula de intersección: $$ P_{int} = (\delta_P)Q - (\delta_Q)P $$ $$ P_{int} = (-1)Q - (29)P $$ Sustituyendo los puntos (recordando que $Q = \mathcal{O} + \vec{q}$ y $P = \mathcal{O} + \vec{p}$): $$ P_{int} = -1(\mathcal{O} + 3e_1 + 4e_2 + 4e_3) - 29(\mathcal{O} + 1e_1 - 1e_2 + 3e_3) $$

Agrupamos los términos. Primero el peso del origen (componente homogénea):

  • Peso: $-1 - 29 = -30$.
  • Componente $x$ ($e_1$): $-3 - 29(1) = -32$.
  • Componente $y$ ($e_2$): $-4 - 29(-1) = -4 + 29 = 25$.
  • Componente $z$ ($e_3$): $-4 - 29(3) = -4 - 87 = -91$.

El resultado es el punto ponderado: $$ P_{int} = -30\mathcal{O} - 32e_1 + 25e_2 - 91e_3 $$

Normalización (Coordenadas Cartesianas): Para obtener las coordenadas físicas, dividimos por el peso (-30),:

$$ x = \frac{-32}{-30} = \frac{16}{15} $$ $$ y = \frac{25}{-30} = -\frac{5}{6} $$ $$ z = \frac{-91}{-30} = \frac{91}{30} $$

Solución Final

  1. Ecuaciones de la recta: Vectorial: $(x,y,z) = (1,-1,3) + \lambda(2,5,1)$. Paramétricas: $x=1+2\lambda, ; y=-1+5\lambda, ; z=3+\lambda$.

  2. Punto de corte: $$ \left( \frac{16}{15}, -\frac{5}{6}, \frac{91}{30} \right) $$

(Nota: Puedes verificar el resultado insertando estas coordenadas en la ecuación original del plano: $2(32/30) + 5(-25/30) + 91/30 - 30/30 = (64 - 125 + 91 - 30)/30 = 0$. El cálculo es correcto).

 Otro problema del mismo estilos que el anterior:

Dado el punto (1, 2, -1)  la recta cuyas ecuaciones son 2x+3y-z=1;;; x-2y=0;;  y el plano  x+y+4z=0;; halla la ecuación de la recta que cumple las tres condiciones siguientes:

Pasa por el punto dado;; Es paralela al plano dado;; Se apoya en la recta dada

Este problema es un excelente ejemplo de cómo el Álgebra Geométrica (AG), específicamente el uso del producto regresivo y la representación de planos y líneas, simplifica la resolución de problemas de incidencia que requieren múltiples pasos en la geometría analítica tradicional.

Para resolverlo, seguiremos una estrategia geométrica clara basada en los objetos que definimos:

  1. Definiremos el Plano Auxiliar ($\Omega$) que pasa por el punto dado $P$ y es paralelo al plano dado $\pi$. La recta buscada debe vivir en este plano para ser paralela a $\pi$.
  2. Calcularemos el Punto de Intersección ($Q$) entre la recta de soporte dada $r$ y nuestro plano auxiliar $\Omega$. Como la recta buscada debe "apoyarse" (cortar) a $r$ y pasar por $P$ (que está en $\Omega$), el punto de cruce debe ser necesariamente este punto $Q$.
  3. La recta solución será la unión (producto exterior) de $P$ y $Q$.

Paso 1: Definición de los Objetos en el Álgebra

Trabajaremos con coordenadas homogéneas (Modelo Proyectivo), donde un punto se representa como $P = e_0 + x e_1 + y e_2 + z e_3$.

1. El Punto Dado ($P$): $$ P = (1, 2, -1) \rightarrow P = e_0 + 1e_1 + 2e_2 - 1e_3 $$

2. El Plano Dado ($\pi$): La ecuación es $x + y + 4z = 0$. En AG, el vector normal (o el dual del plano) se extrae directamente de los coeficientes $(x,y,z)$. $$ \pi^* = \rightarrow n_\pi = 1e_1 + 1e_2 + 4e_3 $$ (Nota: El cuarto componente es 0 porque el plano pasa por el origen, $D=0$).

3. La Recta de Soporte ($r$): Definida por la intersección de dos planos: $2x + 3y - z = 1$ y $x - 2y = 0$. Para operar con ella en AG, necesitamos expresarla como el producto exterior de dos puntos, $r = A \wedge B$. Busquemos dos puntos fáciles que satisfagan el sistema:

  • Si $y=0 \implies x=0$. Sustituyendo en la primera ec: $0 + 0 - z = 1 \implies z = -1$.
    • Punto A: $(0, 0, -1) \rightarrow A = e_0 - e_3$.
  • Si $y=1 \implies x=2$ (de la 2da ec). Sustituyendo en la primera: $2(2) + 3(1) - z = 1 \implies 7 - z = 1 \implies z = 6$.
    • Punto B: $(2, 1, 6) \rightarrow B = e_0 + 2e_1 + 1e_2 + 6e_3$.

La recta es el bivector: $$ r = A \wedge B $$

Paso 2: Construcción del Plano Auxiliar ($\Omega$)

La recta que buscamos debe ser paralela al plano $\pi$ y pasar por $P$. Esto implica que la recta solución está contenida en un plano $\Omega$ que es paralelo a $\pi$ y contiene a $P$.

La condición de paralelismo implica que $\Omega$ tiene el mismo vector normal que $\pi$, es decir $(1, 1, 4)$. La ecuación cartesiana de $\Omega$ será: $$ 1(x - x_P) + 1(y - y_P) + 4(z - z_P) = 0 $$ Sustituyendo $P(1, 2, -1)$: $$ 1(x - 1) + 1(y - 2) + 4(z - (-1)) = 0 $$ $$ x - 1 + y - 2 + 4z + 4 = 0 $$ $$ \Omega: x + y + 4z + 1 = 0 $$

En el Álgebra Geométrica, el dual de este plano ($\Omega^*$) se representa por los coeficientes de la ecuación: $$ \Omega^*  = \implies \text{Función de evaluación: } x + y + 4z + w $$

Paso 3: Hallar el Punto de Apoyo ($Q$)

La recta buscada se apoya en $r$. Como nuestra recta también vive en el plano $\Omega$, el punto de apoyo $Q$ debe ser la intersección de la recta $r$ y el plano $\Omega$.

Usamos la fórmula del Producto Regresivo desarrollada en el Módulo 3 y 4. La intersección de la recta $r = A \wedge B$ con el plano $\Omega$ es: $$ Q = r \vee \Omega = (A \wedge B) \vee \Omega $$

Utilizamos la expansión del factor común (la "fórmula de la balanza"): $$ Q = (A \cdot \Omega^*) B - (B \cdot \Omega^*) A $$

Donde $(P \cdot \Omega^*)$ es simplemente evaluar las coordenadas del punto en la ecuación del plano $\Omega: x + y + 4z + 1$.

1. Evaluamos el punto $A(0, 0, -1)$ en $\Omega$: $$ \delta_A = 0 + 0 + 4(-1) + 1 = -3 $$

2. Evaluamos el punto $B(2, 1, 6)$ en $\Omega$: $$ \delta_B = 2 + 1 + 4(6) + 1 = 2 + 1 + 24 + 1 = 28 $$

3. Calculamos $Q$: $$ Q = (-3)B - (28)A $$ Sustituimos los vectores $A$ y $B$: $$ Q = -3(e_0 + 2e_1 + e_2 + 6e_3) - 28(e_0 - e_3) $$

Agrupamos por componentes:

  • Componente $e_0$ (Peso): $-3(1) - 28(1) = -31$.
  • Componente $e_1$ (x): $-3(2) - 28(0) = -6$.
  • Componente $e_2$ (y): $-3(1) - 28(0) = -3$.
  • Componente $e_3$ (z): $-3(6) - 28(-1) = -18 + 28 = 10$.

El punto de intersección en coordenadas homogéneas es: $$ Q_{ponderado} = -31e_0 - 6e_1 - 3e_2 + 10e_3 $$

Para obtener las coordenadas cartesianas de $Q$, normalizamos dividiendo por el peso ($w=-31$): $$ Q_{cartesiano} = \left( \frac{-6}{-31}, \frac{-3}{-31}, \frac{10}{-31} \right) = \left( \frac{6}{31}, \frac{3}{31}, -\frac{10}{31} \right) $$

Paso 4: Construcción de la Recta Solución

Ahora tenemos dos puntos por los que pasa la recta buscada:

  1. El punto dado $P (1, 2, -1)$.
  2. El punto de apoyo $Q (6/31, 3/31, -10/31)$.

Para dar la ecuación vectorial de la recta, necesitamos un vector director $\vec{v}$. Este vector es simplemente la resta de los puntos (que en AG es la diferencia de los vectores de posición normalizados):

$$ \vec{v} = Q_{cartesiano} - P_{cartesiano} $$ $$ \vec{v} = \left( \frac{6}{31} - 1, \quad \frac{3}{31} - 2, \quad -\frac{10}{31} - (-1) \right) $$

Hacemos la resta de fracciones:

  • $x$: $\frac{6 - 31}{31} = \frac{-25}{31}$
  • $y$: $\frac{3 - 62}{31} = \frac{-59}{31}$
  • $z$: $\frac{-10 + 31}{31} = \frac{21}{31}$

El vector director es $\vec{v} = \frac{1}{31}(-25, -59, 21)$. Como el vector director indica dirección, podemos multiplicarlo por cualquier escalar (en este caso por -31) para hacerlo más estético y fácil de escribir sin fracciones. Usaremos: $$ \vec{u} = (25, 59, -21) $$

Resultado Final

La ecuación vectorial de la recta que cumple las tres condiciones es:

$$ (x, y, z) = P + \lambda \vec{u} $$ $$ (x, y, z) = (1, 2, -1) + \lambda (25, 59, -21) $$

O en forma paramétrica: $$ \begin{cases} x = 1 + 25\lambda \ y = 2 + 59\lambda \ z = -1 - 21\lambda \end{cases} $$

Verificación rápida:

  1. Pasa por P: Si $\lambda=0$, obtenemos $(1, 2, -1)$. (Correcto).
  2. Paralela al plano $x+y+4z=0$: El producto punto del vector director $\vec{u}$ con la normal del plano $(1,1,4)$ debe ser 0. $25(1) + 59(1) - 21(4) = 84 - 84 = 0$. (Correcto).
  3. Se apoya en la recta dada: Para un valor de $\lambda = -31/31 = -1$ (usando la escala original antes de simplificar, o ajustando $\lambda$ a la nueva escala), la recta alcanza el punto $Q(6/31, 3/31, -10/31)$, el cual calculamos específicamente como la intersección con la recta $r$. (Correcto).

¿Porqué en estos problemas de geometría analítica del espacio tridimensional para resolverlos según el álgebra geométrica hay que usar coordenadas homogéneas, como si estuviéramos en un espacio proyectivo?

 El uso de coordenadas homogéneas (o el Modelo Proyectivo) en el Álgebra Geométrica para resolver problemas de geometría analítica tridimensional no es un capricho, sino una necesidad estructural para superar las limitaciones del álgebra vectorial tradicional.

Aquí te explico las razones fundamentales, basándome en los textos proporcionados (especialmente Browne y la tesis de Miller):

1. La Distinción entre Posición y Dirección

En el álgebra vectorial estándar (y en el Espacio Vectorial $G_3$ simple), los vectores representan direcciones y magnitudes, pero no tienen una posición fija. Un vector $\vec{v}$ es el mismo si está en el origen o desplazado mil kilómetros.

  • Problema: La geometría analítica trata sobre lugares (puntos, rectas que pasan por lugares específicos). En el álgebra estándar, un punto se define como un vector desde un origen arbitrario, lo que confunde dos conceptos distintos.
  • Solución Homogénea: Para describir la "posición verdadera" en un espacio físico de 3 dimensiones, se requiere un espacio lineal de 4 dimensiones: una dimensión para el "punto de origen" ($e_0$) y tres para las direcciones espaciales ($e_1, e_2, e_3$). Esto permite tratar a los puntos ($P$) y a los vectores ($v$) como entidades tensoriales separadas.
    • Punto: $P = e_0 + x e_1 + y e_2 + z e_3$ (Tiene componente de origen/peso).
    • Vector: $v = x e_1 + y e_2 + z e_3$ (No tiene componente de origen).

2. Linealización de Subespacios "Flotantes" (Offset Subspaces)

En el álgebra lineal estándar, un subespacio vectorial (como una línea o un plano) debe pasar por el origen $(0,0,0)$.

  • Problema: La mayoría de las rectas y planos en geometría analítica no pasan por el origen (son subespacios afines, no lineales). Esto obliga a usar ecuaciones paramétricas complejas como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{v}$ donde se mezcla suma y multiplicación.

  • Solución Homogénea: Al subir una dimensión (espacio proyectivo), una recta que "flota" en el espacio 3D se convierte en un plano que pasa por el origen en el espacio 4D. Un plano que "flota" en 3D se convierte en un volumen que pasa por el origen en 4D. Esto permite representar estas entidades simplemente mediante el producto exterior ($\wedge$):

    • Línea que no pasa por el origen: $L = A \wedge B$ (Bivector en 4D).
    • Plano que no pasa por el origen: $\Pi = A \wedge B \wedge C$ (Trivector en 4D).

    Al usar coordenadas homogéneas, convertimos la geometría afín (difícil algebraicamente) en geometría lineal (fácil algebraicamente) en una dimensión superior.

3. Unificación de la Intersección (Producto Regresivo)

Esta es la razón práctica más potente. En la geometría tradicional, hallar la intersección de una recta y un plano implica resolver un sistema de ecuaciones lineales (sustitución, reducción, etc.).

  • En Álgebra Geométrica Proyectiva: La intersección es una operación algebraica pura, el Producto Regresivo ($\vee$). Debido a que los espacios lineales de $m$-elementos y $(n-m)$-elementos tienen la misma dimensión, existe una dualidad natural. El producto regresivo es el dual del producto exterior,.

    • Si el producto exterior ($\wedge$) une puntos para crear líneas y planos (unión).
    • El producto regresivo ($\vee$) encuentra el espacio común compartido (intersección).

    Para que el producto regresivo funcione correctamente y devuelva un punto de intersección válido (que tiene una ubicación), los objetos (rectas y planos) deben estar definidos en este espacio proyectivo homogéneo. Si se hiciera en $G_3$ estándar, la intersección de dos líneas sesgadas o paralelas sería simplemente cero o indefinida, perdiendo la información sobre la intersección en el infinito o la estructura geométrica relativa.

4. Manejo del Infinito

En el modelo proyectivo (coordenadas homogéneas), los elementos con componente de peso cero (ej. $0e_0 + x e_1 \dots$) se interpretan como puntos en el infinito o direcciones puras. Esto permite que el álgebra maneje automáticamente casos que en geometría analítica requieren "casos especiales" (como líneas paralelas que se encuentran en el infinito) sin que el sistema algebraico se rompa.

Resumen: Usamos coordenadas homogéneas porque transforman la geometría afín (desplazada del origen, compleja) en geometría lineal pura en una dimensión superior. Esto nos permite:

  1. Construir objetos simplemente multiplicando puntos ($A \wedge B$).
  2. Intersectar objetos simplemente multiplicándolos regresivamente ($L \vee \Pi$).
  3. Diferenciar algebraicamente una ubicación de una dirección.

 Quiero ver cómo se resuelven problemas de puntos y rectas y planos en dimensiones superiores, aunque bajas, cuando el espacio vectorial base es de dimensión 4 ó 5, ó 6.

 Halla la recta que pasa por los puntos  (1, 2, 0, -2, -1)  y  (1, 1, 1, 0, 0);; exprésala en ecuaciones propias del álgebra geométrica y a partir de ahí, halla las ecuaciones que tendría en geometría analítica convencional.

 Resolver problemas geométricos en dimensiones superiores utilizando el Álgebra Geométrica (AG) es, conceptualmente, idéntico a hacerlo en 2D o 3D. La gran potencia del AG es que el producto exterior y las condiciones de dependencia lineal funcionan independientemente de la dimensión del espacio.

Aquí tienes la resolución del problema para un espacio base de dimensión 5 ($\mathbb{R}^5$).

1. Definición de los Elementos en Álgebra Geométrica

Tenemos dos puntos en un espacio 5D. En AG, tratamos estos puntos como vectores de posición desde un origen $\mathcal{O}$.

  • $P_1 = 1e_1 + 2e_2 + 0e_3 - 2e_4 - 1e_5$
  • $P_2 = 1e_1 + 1e_2 + 1e_3 + 0e_4 + 0e_5$

El Vector Director ($v$): La dirección de la recta se obtiene restando los puntos: $$v = P_2 - P_1 = (1-1)e_1 + (1-2)e_2 + (1-0)e_3 + (0-(-2))e_4 + (0-(-1))e_5$$ $$v = 0e_1 - 1e_2 + 1e_3 + 2e_4 + 1e_5$$ $$v = -e_2 + e_3 + 2e_4 + e_5$$

2. La Ecuación en Álgebra Geométrica

En AG, una recta que pasa por un punto $P_1$ con dirección $v$ se define como el conjunto de puntos $r$ tales que el vector $(r - P_1)$ es colineal con $v$. La condición de colinealidad (dependencia lineal) se expresa mediante el producto exterior igual a cero,:

$$ (r - P_1) \wedge v = 0 $$

Esta es la ecuación intrínseca de la recta en álgebra geométrica. Es válida en 3, 5, o 100 dimensiones.

  • Significado geométrico: El área del paralelogramo formado por el vector relativo $(r-P_1)$ y el vector director $v$ debe ser cero (el área colapsa porque son paralelos).

Representación Plückeriana (Bivector de la recta): Alternativamente, podemos definir la recta como un objeto (un bivector) usando el producto cuña de los dos puntos (en el modelo proyectivo/homogéneo) o calculando el "momento" de la línea. Si expandimos la ecuación $(r \wedge v) - (P_1 \wedge v) = 0$, obtenemos que $r \wedge v = M$, donde $M = P_1 \wedge v$ es el momento de la recta (un bivector constante que fija la posición de la recta en el espacio).

Calculamos el momento $M = P_1 \wedge v$ en 5D: $$ M = (e_1 + 2e_2 - 2e_4 - e_5) \wedge (-e_2 + e_3 + 2e_4 + e_5) $$

Al expandir esto, obtendremos 10 componentes (pues en 5D hay $\binom{5}{2}=10$ planos base bivectoriales: $e_{12}, e_{13}, \dots, e_{45}$). $$ M = -e_{12} + e_{13} + 2e_{14} + e_{15} + 2e_{23} + 2e_{24} + e_{25} + 2e_{34} + e_{35} $$ (Nota: $e_{45}$ se cancela: $-2e_4 \wedge e_5 - e_5 \wedge 2e_4 = -2e_{45} - (-2e_{45}) = 0$).

La ecuación de la recta es simplemente: $$ r \wedge v = M $$

3. Traducción a Geometría Analítica Convencional

Ahora, "bajamos" del álgebra abstracta a las coordenadas cartesianas convencionales, donde un punto genérico es $r = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$.

A) Ecuaciones Paramétricas

Esta es la forma más directa, derivada de la definición vectorial $r = P_1 + \lambda v$. $$ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (1, 2, 0, -2, -1) + \lambda(0, -1, 1, 2, 1) $$

Igualando componente a componente: $$ \begin{cases} x_1 = 1 \ x_2 = 2 - \lambda \ x_3 = \lambda \ x_4 = -2 + 2\lambda \ x_5 = -1 + \lambda \end{cases} $$

B) Ecuaciones en Forma Continua (Simétricas)

Despejamos el parámetro $\lambda$ en cada ecuación (excepto la primera, que es una constante) e igualamos:

  1. De $x_2$: $\lambda = 2 - x_2$
  2. De $x_3$: $\lambda = x_3$
  3. De $x_4$: $\lambda = \frac{x_4 + 2}{2}$
  4. De $x_5$: $\lambda = x_5 + 1$

La ecuación cartesiana (o sistema de ecuaciones) es: $$ x_1 = 1, \quad \frac{x_2 - 2}{-1} = \frac{x_3}{1} = \frac{x_4 + 2}{2} = \frac{x_5 + 1}{1} $$

¿Por qué usar Álgebra Geométrica entonces?

Podrías preguntarte por qué usar el producto exterior $(r - P_1) \wedge v = 0$ si parece más complicado que la forma paramétrica. La respuesta está en la estructura.

En geometría convencional, definimos la recta mediante un sistema de ecuaciones. En 5D, una recta se define por la intersección de $5 - 1 = 4$ hiperplanos independientes. La ecuación de GA $(r - P_1) \wedge v = 0$ genera automáticamente todas las ecuaciones de los planos proyectados. Si expandes $(r - P_1) \wedge v$, obtienes 10 términos de la forma $C_{ij} e_i \wedge e_j$. Para que el bivector sea cero, cada coeficiente debe ser cero.

Por ejemplo, el coeficiente del plano $e_{23}$ (plano $y-z$) es: $$ (x_2 - p_{1_2})v_3 - (x_3 - p_{1_3})v_2 = 0 $$ $$ (x_2 - 2)(1) - (x_3)(-1) = 0 \implies x_2 - 2 + x_3 = 0 \implies x_3 = 2 - x_2 $$ Esto recupera exactamente la igualdad entre el segundo y tercer término de la forma continua.

Conclusión: En dimensiones superiores, el álgebra geométrica permite escribir una sola ecuación $(r \wedge v = M)$ que contiene toda la información geométrica (dirección, momento y ubicación) y que genera automáticamente las 10 ecuaciones de proyección posibles sin tener que gestionar sistemas de ecuaciones lineales complejos manualmente.

 Plano que pasa por (1, -1, -1, 1, 0)  y contiene a la recta del problema anterior

 Para resolver este problema en el contexto del Álgebra Geométrica (AG) en un espacio de 5 dimensiones ($R^5$), seguiremos el proceso de construcción del subespacio afín (el plano) utilizando el producto exterior.

1. Definición de los Elementos

Recuperamos los datos del problema anterior y definimos el nuevo punto. Trataremos los puntos como vectores de posición desde el origen.

  • Puntos de la recta original ($r$): $P_1 = (1, 2, 0, -2, -1)$ $P_2 = (1, 1, 1, 0, 0)$
  • Vector director de la recta ($u$): $u = P_2 - P_1 = (0, -1, 1, 2, 1)$
  • Nuevo punto por el que pasa el plano: $P_{new} = (1, -1, -1, 1, 0)$

2. Construcción del Bivector del Plano

Un plano queda definido por un punto de anclaje y un bivector que representa su orientación espacial (su "actitud"). Para obtener este bivector, necesitamos dos vectores linealmente independientes que sean paralelos al plano.

  1. Primer vector ($u$): Ya lo tenemos, es la dirección de la recta original. $$u = -e_2 + e_3 + 2e_4 + e_5$$

  2. Segundo vector ($v$): Construimos un vector que conecte la recta original con el nuevo punto $P_{new}$. Usaremos $P_1$ como referencia. $$v = P_{new} - P_1 = (1-1, -1-2, -1-0, 1-(-2), 0-(-1))$$ $$v = (0, -3, -1, 3, 1)$$ $$v = -3e_2 - e_3 + 3e_4 + e_5$$

  3. El Bivector ($B$): Calculamos el producto exterior $B = u \wedge v$. $$B = (-e_2 + e_3 + 2e_4 + e_5) \wedge (-3e_2 - e_3 + 3e_4 + e_5)$$

    Al expandir, recordamos que $e_i \wedge e_i = 0$ y $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$. Calculamos los coeficientes para cada base de bivector $e_{ij}$ (que actúan como coordenadas de Plücker):

    • $e_{1i}$: Todos son 0 porque la primera componente de ambos vectores es 0.
    • $e_{23}$: $(-1)(-1) - (1)(-3) = 1 + 3 = 4$
    • $e_{24}$: $(-1)(3) - (2)(-3) = -3 + 6 = 3$
    • $e_{25}$: $(-1)(1) - (1)(-3) = -1 + 3 = 2$
    • $e_{34}$: $(1)(3) - (2)(-1) = 3 + 2 = 5$
    • $e_{35}$: $(1)(1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2$
    • $e_{45}$: $(2)(1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1$

    Bivector director del plano: $$B = 4e_{23} + 3e_{24} + 2e_{25} + 5e_{34} + 2e_{35} - 1e_{45}$$

3. Ecuación en Álgebra Geométrica

La condición para que un punto genérico $x$ pertenezca al plano que pasa por $P_1$ con orientación $B$ es que el vector relativo $(x - P_1)$ sea coplanar con $B$. Esto significa que el volumen (trivector) formado por ellos debe ser cero.

Ecuación Intrnseca: $$(x - P_1) \wedge B = 0$$

Donde $x$ es el vector de posición genérico $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ y $P_1 = (1, 2, 0, -2, -1)$.

4. Obtención de las Ecuaciones Cartesianas

En un espacio de 5 dimensiones, un plano (dimensión 2) se define mediante la intersección de $5 - 2 = 3$ hiperplanos. Para encontrarlos, expandimos la ecuación $(x - P_1) \wedge B = 0$.

Sea $R = x - P_1 = (x_1-1, x_2-2, x_3, x_4+2, x_5+1)$. Calculamos $R \wedge B$. Para que este trivector sea cero, todos sus componentes deben ser cero.

  1. Componentes con $e_1$: Como el bivector $B$ no tiene componentes con $e_1$, cualquier producto $R \wedge B$ que involucre la componente $x_1$ de $R$ generará términos con $e_1$. Para que estos se anulen (dado que no hay otros términos con $e_1$ para cancelarlos), el coeficiente de $R$ en $e_1$ debe ser cero (o constante respecto a la estructura del bivector). Observamos que tanto $u$ como $v$ tienen 0 en la primera coordenada. Ecuación 1: $$x_1 = 1$$

  2. Otras Ecuaciones (usando determinantes menores): Para hallar las otras relaciones, buscamos dependencias lineales entre las filas de la matriz formada por $(R, u, v)$. $$ \begin{pmatrix} x_2-2 & x_3 & x_4+2 & x_5+1 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$ (Omitimos la columna 1 porque ya establecimos $x_1=1$).

    Calculamos los menores igualados a cero:

    • Menor (columnas 2, 3, 5 correspondientes a $x_2, x_3, x_5$): $$ \det \begin{vmatrix} x_2-2 & x_3 & x_5+1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$ $(x_2-2)(1 - (-1)) - x_3(-1 - (-3)) + (x_5+1)(1 - (-3)) = 0$ $2(x_2-2) - 2x_3 + 4(x_5+1) = 0$ Dividiendo por 2: $(x_2 - 2) - x_3 + 2(x_5 + 1) = 0$ Ecuación 2: $$x_2 - x_3 + 2x_5 = 0$$ (Verificación con $P_1$: $2 - 0 + 2(-1) = 0$. Correcto).

    • Menor (columnas 2, 3, 4 correspondientes a $x_2, x_3, x_4$): $$ \det \begin{vmatrix} x_2-2 & x_3 & x_4+2 \\ -1 & 1 & 2 \\ -3 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$ $(x_2-2)(3 - (-2)) - x_3(-3 - (-6)) + (x_4+2)(1 - (-3)) = 0$ $5(x_2-2) - 3x_3 + 4(x_4+2) = 0$ $5x_2 - 10 - 3x_3 + 4x_4 + 8 = 0$ Ecuación 3: $$5x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 2$$ (Verificación con $P_{new}(1, -1, -1, 1, 0)$: $5(-1) - 3(-1) + 4(1) = -5 + 3 + 4 = 2$. Correcto).

Resumen de Resultados

1. Representación en Álgebra Geométrica (Bivectorial): El plano está definido por el conjunto de vectores $x$ que satisfacen: $$(x - P_1) \wedge (4e_{23} + 3e_{24} + 2e_{25} + 5e_{34} + 2e_{35} - e_{45}) = 0$$ Con $P_1 = e_1 + 2e_2 - 2e_4 - e_5$.

2. Representación Cartesiana (Sistema de Ecuaciones): El plano en $R^5$ está definido por la intersección de estos tres hiperplanos: $$ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 - x_3 + 2x_5 = 0 \\ 5x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 2 \end{cases} $$

Este sistema define completamente el plano de 2 dimensiones incrustado en el espacio de 5 dimensiones que contiene a la recta y al punto dados.





 

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