Borrador del trabajo efectivo sobre derivadas complejas vs derivadas reales

 Aquí iré rescatando los trozos que ya puedan formar parte de un primer borrador del proyecto

Tema 1 (Tema 13) La multiplicación en $\mathbb{C}$ vista desde $\mathbb{R}^2$

1. Multiplicación en $\mathbb{C}$ y su interpretación como función ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

1.1. Función $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$

Sea $z_0=a+bi$ un número complejo fijo. Consideremos la función $f$ definida por:

$$f(z)=z_0\cdot z,\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}\mathrm{.}$$

Es decir, $f$ multiplica un número complejo $z$ por un número complejo fijo $z_0$.

Si escribimos $z=x+iy$ (forma cartesiana de $z$) y $z_0=a+bi$, la multiplicación de números complejos se define como:

$$f(z)=z_0\cdot z=(a+bi)(x+iy)\mathrm{.}$$

Aplicando la regla distributiva y usando $i^2=-1$:

$$f(z)=ax+a(iy)+b(ix)+b(i{y}^2)\mathrm{.}$$

Simplificando:

$$f(z)=(ax-by)+i(bx+ay)\mathrm{.}$$

Por lo tanto, la función $f$ puede descomponerse en sus partes real e imaginaria:

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$

donde:

$$u(x,y)=ax-by,v(x,y)=bx+ay\mathrm{.}$$

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1.2. Propiedades de $f$

Vamos a enumerar y demostrar las propiedades de la función $f(z)=z_0\cdot z$:

1. Linealidad: La multiplicación en $\mathbb{C}$ es lineal respecto a la adición de números complejos:

   $$f(z_1+z_2)=z_0\cdot (z_1+z_2)=z_0\cdot z_1+z_0\cdot z_2=f(z_1)+f(z_2)\mathrm{.}$$

   Y respecto a la multiplicación por un escalar real $c$:

   $$f(cz)=z_0\cdot (cz)=c(z_0\cdot z)=c\cdot f(z)\mathrm{.}$$

2. Preservación de la estructura del módulo: La multiplicación por $z_0$ escala el módulo de $z$ por $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }$:

   $$\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_0\cdot z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

3. Rotación y escala: Si $z_0$ se expresa en forma polar $z_0=r_0{e}^{i{\theta }_0}$, la multiplicación $z_0\cdot z$ equivale a:

   $$\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }=r_0\cdot \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid },\text{y}\text{Arg}(f(z))=\text{Arg}(z)+{\theta }_0\mathrm{.}$$

   Esto implica que $f$ escala $z$ por $r_0$ y lo rota un ángulo ${\theta }_0$.

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1.3. Interpretación como función $g:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

Dado que $z=x+iy$ y $z_0=a+bi$, identificamos $\mathbb{C}$ con ${\mathbb{R}}^2$ mediante:

$$z=(x,y),z_0=(a,b)\mathrm{.}$$

La función $f(z)=z_0\cdot z$ se reescribe como:

$$g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=(ax-by,bx+ay)\mathrm{.}$$

Esta transformación es lineal, y su expresión matricial es:

$$g(x,y)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$

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1.4. Verificación de cálculos

Vamos a comprobar los cálculos varias veces para evitar errores.

1. Verificación de $f(z)=(ax-by)+i(bx+ay)$:

   $$(a+bi)(x+iy)=ax+a(iy)+b(ix)+b(i{y}^2)=ax+iay+ibx-by\mathrm{.}$$

   Separando parte real e imaginaria:

   $$\text{Real: }ax-by,\text{Imaginaria: }bx+ay\mathrm{.}$$

2. Verificación de la matriz: La transformación lineal se escribe como:

   $$\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Calculamos:

   $$u(x,y)=ax-by,v(x,y)=bx+ay\mathrm{.}$$

Todos los cálculos coinciden con los resultados esperados.

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1.5. Conclusión

La multiplicación por un número complejo fijo $z_0$ en $\mathbb{C}$ es una transformación lineal en ${\mathbb{R}}^2$, descrita mediante una matriz $2\times 2$:

$$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Esta transformación combina rotaciones y escalas en el plano complejo.

 Vamos a explicar cómo es la aplicación lineal que se asocia a la matriz a que hemos llegado

La matriz $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ representa un tipo especial de transformación lineal en el plano ${\mathbb{R}}^2$. Vamos a analizar sus propiedades y determinar el tipo de transformación que realiza:

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Propiedades de la matriz $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$:

1. Determinante: El determinante de esta matriz se calcula como:

   $$\text{Det}\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=(a)(a)-(-b)(b)=a^2+b^2\mathrm{.}$$

   Como $a^2+b^2\ge 0$ y solo es igual a 0 cuando $a=b=0$, el determinante nunca es negativo. Además:

   • Si $a^2+b^2>0$, la transformación es invertible.
   • Si $a^2+b^2=0$, la transformación es no invertible (esto ocurre solo si $a=0$ y $b=0$).

2. Forma ortogonal: La matriz puede ser escrita como:

   $$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),$$

   donde:

   $$r=\sqrt{a^2+b^2},\cos \theta =\frac{a}{r},\sin \theta =\frac{b}{r}\mathrm{.}$$

   Esto muestra que la matriz combina una escalamiento por un factor $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y una rotación por un ángulo $\theta$ en el plano.

3. Simetría del plano complejo: La matriz representa una transformación que preserva la orientación del plano, ya que su determinante $\text{Det}>0$.

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Clasificación de la transformación lineal:

1. Si $a^2+b^2=1$: Cuando $a^2+b^2=1$, la matriz es ortogonal y representa una rotación pura en el plano, sin escalamiento. El ángulo de rotación $\theta$ está dado por:

   $$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\mathrm{.}$$

2. Si $a^2+b^2>1$: En este caso, la matriz combina un escalamiento uniforme (factor $\sqrt{a^2+b^2}$) y una rotación. La transformación agranda o contrae vectores dependiendo del factor de escala $r$.

3. Si $0<a^2+b^2<1$: Aquí, la matriz realiza un escalamiento uniforme menor a 1 (reduce el tamaño de los vectores) combinado con una rotación.

4. Si $a=b=0$: La matriz se reduce a la matriz nula $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, que no es invertible y colapsa todo el plano en el origen.

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Conclusión:

La matriz $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ representa una transformación lineal en ${\mathbb{R}}^2$ que combina:

• Escalamiento uniforme (por $r=\sqrt{a^2+b^2}$).
• Rotación (por un ángulo $\theta =\arctan (b\mathrm{/}a)$).

Es una transformación fundamental en la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos.